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viernes, 29 de agosto de 2014

Geometria de graficas de funciones de una variable real (En construccion)

Consideremos una función $f:A\rightarrow B$, se define la gráfica de la función F como el conjunto
$G=\lbrace(x,f(x))\in\mathbb{R}^{2},x\in A\rbrace$ donde $A,B\subset\mathbb{R}$.
Para ver como cambia la geometría de la gráfica al aplicar traslaciones y homotecias antes o despues de la aplicación de la función f, nos conviene recordar la definición de composición de funciones.
Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C$, donde A,B,C\subset\mathbb{R}$, para evitar complicaciones supongamos además que f es sobre, de modo que g quede bien definida.
Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:A\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.
En este caso queremos analizar como afecta en la gráfica de g el que g sea una traslación $x+a$ o bien una homotecia $ca$, ademas ver que sucede en el caso en que $a>0$ y $a<0$, y tambien diferentes casos para c, que son $c>1$, $0<c<1$, $-1<c<0$, $c<-1$.
Y tambien invirtiendo los papeles de f y g, lo que significa que queremos ver como afectan las traslaciones antes y después de aplicar una funcion y las homotecias con signo antes y después de aplicar una funcion.
Para hacer este análisis tambien es útil la notación de mapeos.
podemos ver la expresión $f(x+a)$ como la siguiente secuencia
$x\mapsto x+a\mapsto f(x-a)$
La primera traslación que se aplica recorre el eje X horizontalmente, si $a>0$ se desplaza a la izquierda, y a la derecha si $a<0$, y al aplicar la función f, esta toma el valor en a, que la f solita tomaría en el valor 0. Por lo tanto la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido contrario al signo de a.
Ejemplo: