Rocío Azul I
Música, matemáticas, fotos y todo lo que se me ocurra...
Translate
sábado, 19 de septiembre de 2015
viernes, 26 de septiembre de 2014
Convergencia de sucesiones.
La ultima clase vimos que significa que una sucesión tienda a infinito. Aquí va la definición.
Def. Decimos que la sucesión \lbrace a_{n}\rbrace tiende a infinito lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty si para todo M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que si n>N entonces a_{n}>M
Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace donde a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}
Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión \lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace a la que mayora a partir de n=6 .
Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
\lbrace b_{n}\rbrace donde b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}, esta ultima sucesión converge al numero de oro \frac{1+\sqrt{5}}{2}
Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea \lbrace a_{n}\rbrace una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea \alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace. Demostraremos que la sucesion converge a \alpha.Sea \epsilon>0, por la propiedad del supremo, existe ,N\in\mathbb{N} tal que \alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos \alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots
Asi que para todo n>N se cumple \alpha-a_{n}<\epsilon
Fin de la demostracion
Def. Decimos que la sucesión \lbrace a_{n}\rbrace tiende a infinito lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty si para todo M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que si n>N entonces a_{n}>M
Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace donde a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}
Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión \lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace a la que mayora a partir de n=6 .
Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
\lbrace b_{n}\rbrace donde b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}, esta ultima sucesión converge al numero de oro \frac{1+\sqrt{5}}{2}
Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea \lbrace a_{n}\rbrace una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea \alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace. Demostraremos que la sucesion converge a \alpha.Sea \epsilon>0, por la propiedad del supremo, existe ,N\in\mathbb{N} tal que \alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos \alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots
Asi que para todo n>N se cumple \alpha-a_{n}<\epsilon
Fin de la demostracion
viernes, 19 de septiembre de 2014
Suscribirse a:
Entradas (Atom)