Recuerdos de la ronda de homenajes en 2015 realizados en memoria del Profeta del Nopal, a 30 años de su partida sideral durante el terremoto de 1985 en Mexico.
Solares baldíos en vivo desde Radio UNAM
sábado, 19 de septiembre de 2015
viernes, 26 de septiembre de 2014
Convergencia de sucesiones.
La ultima clase vimos que significa que una sucesión tienda a infinito. Aquí va la definición.
Def. Decimos que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiende a infinito $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$ si para todo $M>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ entonces $a_{n}>M$
Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
$\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace$ donde $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión $\lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace$ a la que mayora a partir de $n=6$ .
Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
$\lbrace b_{n}\rbrace$ donde $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$, esta ultima sucesión converge al numero de oro $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea $\lbrace a_{n}\rbrace$ una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea $\alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace$. Demostraremos que la sucesion converge a $\alpha$.Sea $\epsilon>0$, por la propiedad del supremo, existe ,$N\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha$, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos $\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots$
Asi que para todo $n>N$ se cumple $\alpha-a_{n}<\epsilon$
Fin de la demostracion
Def. Decimos que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiende a infinito $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$ si para todo $M>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ entonces $a_{n}>M$
Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
$\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace$ donde $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión $\lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace$ a la que mayora a partir de $n=6$ .
Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
$\lbrace b_{n}\rbrace$ donde $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$, esta ultima sucesión converge al numero de oro $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea $\lbrace a_{n}\rbrace$ una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea $\alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace$. Demostraremos que la sucesion converge a $\alpha$.Sea $\epsilon>0$, por la propiedad del supremo, existe ,$N\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha$, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos $\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots$
Asi que para todo $n>N$ se cumple $\alpha-a_{n}<\epsilon$
Fin de la demostracion
viernes, 19 de septiembre de 2014
En el Museo Universitario de Arte Contemporáreno
Estas son algunas cositas que me gustaron y fotos extras :)
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