Convergencia de sucesiones.

La ultima clase vimos que significa que una sucesión tienda a infinito. Aquí va la definición.

Def. Decimos que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiende a infinito $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$ si para todo $M>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ entonces $a_{n}>M$

Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
$\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace$ donde $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$

Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión $\lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace$ a la que mayora a partir de $n=6$ .

Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
$\lbrace b_{n}\rbrace$ donde $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$, esta ultima sucesión converge al numero de oro $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea $\lbrace a_{n}\rbrace$ una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea $\alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace$. Demostraremos que la sucesion converge a $\alpha$.Sea $\epsilon>0$, por la propiedad del supremo, existe ,$N\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha$, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos $\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots$

Asi que para todo $n>N$ se cumple $\alpha-a_{n}<\epsilon$
Fin de la demostracion