La conferencia de relatividad y agujeros negros

Buenas noches, en este post les comparto las notas que pude tomar de la conferencia del Dr.  Alcubierre sobre relatividad y agujeros negros. 

relatividad y agujeros negros 

Sucesiones infinitas de números reales

Las sucesiones infinitas de números reales son listas infinitas de números. Estrictamente hablando, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es $\mathbb{N}$ y que toma valores reales.

A cada numero natural se le asigna un numero real mediante una cierta regla de correspondencia. Las sucesiones se denotan de la siguiente manera $\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace a_{1},a_{2,\ldots a_{n}}\rbrace$
donde $a_{1}$ es el valor que toma la función en el 1, y así sucesivamente. De manera que se puede expresar un termino genérico de la sucesión como $a_{n}$

Ejemplos de sucesiones son los siguientes
$\lbrace n\rbrace$ donde $\alpha_{n}=n$
$\lbrace (-1)^{n}$ donde $\beta_{n}=(-1)^{n}$
$\lbrace \frac{1}{n}\rbrace$ donde $\gamma_{n}=\frac{1}{n}$
Sea $\lbrace \delta_{n}\rbrace$ definida por $\delta_{n+1}=\delta_{n}+\delta_{n-1}$ donde $\delta_{1}=\delta_{2}=1$
Esta ultima sucesión se define mediante una regla de recurrencia

Ejercicio - Graficar las sucesiones anteriores.
Observar si las sucesiones anteriores se van acercando a un numero real en particular.

Si consideramos la ultima sucesión se puede construir una nueva
$\lbrace \omega_{n}\rbrace$ definida por $\omega_{n+1}=\frac{\delta_{n}}{\delta_{n-1}}$

Se puede demostrar que la sucesión $\lbrace \omega_{n}\rbrace$ se va aproximando al numero $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se dice que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiene limite en $L$ si para todo $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ se cumple $|a_{n}-L|<\epsilon$

Demostrar que la sucesión $\lbrace \gamma_{n}\rbrace$ converge a 0


Decimos que una sucesión diverge, si no converge.
Ejercicio

Demostrar que la sucesión $\lbrace \beta_{n}\rbrace$ diverge.





Basado en el Spivak

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas en principio se definen como razones entre lados en triángulos rectángulos, sin embargo, así solo se pueden definir para ángulos agudos, porque los lados de los triángulos rectángulos solo pueden formar ángulos agudos. Para extender la definición del seno y coseno a cualquier ángulo, se considera en el plano cartesiano, un circulo unitario, y en el primer cuadrante se puede escoger un punto $P=(x,y)$ sobre el circulo,  al bajar una perpendicular al eje X se forma un triángulo rectángulo. La hipotenusa de ese triángulo es el vector que sale del origen al punto P.

Para extender las funciones seno y coseno a todos los números reales, se siguen los siguientes pasos:

1) Escoger un numero real $r\in\mathbb{R}$

2) Expresarlo como $r=2\pi k+\alpha$, de modo que $0\leq\alpha<2\pi$. Observen que $\alpha$ es el ángulo que representa a la misma apertura que $r$.

3) A esa apertura le corresponde un único vector unitario $(u,v)$, y se definen

$\cos r=u$ y $\sin r=v$

De este modo las funciones seno y coseno quedan definidas para todos los números reales.

Observen que $\cos r=u\cos\alpha$ y $\sin r=v=\sin \alpha$

La periodicidad de las funciones seno y coseno provienen directamente de la definición. A partir de ellas se definen las siguientes funciones

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$  $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ y $\csc x=\frac{1}{\sin x}$

NOTA. Las funciones tangente y secante no están definidas en los puntos donde se anula el coseno que son todos los de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ donde $k$ es cualquier numero entero. Y las funciones cotangente y cosecante no están definidas en los puntos donde se anula el seno, que son los de la forma $2k\pi$ donde $k$ es cualquier numero entero.


Se pueden demostrar las siguientes identidades trigonométricas
El coseno es una función par $\cos (-x)=\cos(x)$
El seno es una función impar $\sin (-x)=-\sin(x)$
$\sin x=\cos (x-\pi)$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$
$\cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\cos x\sin y+\cos y \sin x$

Graficas de las funciones trigonométricas

CURIOSIDAD Las funciones trigonométricas también se pueden definir a partir de ecuaciones diferenciales.

TAREA. 
Consideremos la ecuación

$y''+y=0$
Se puede demostrar que la solución general de esta ecuación diferencial es un espacio vectorial de dimensión 2. Una base de este espacio es el conjunto $\lbrace \sin x, \cos x\rbrace$
Investiga sobre esto, es cultura general matemática!

Por la libertad de escoger el dominio de una función

En este brevísimo post analizaremos el concepto de dominio. 

Recuerden que para definir una función se necesitan 3 ingredientes :

Dominio
Contradominio
Regla de correspondencia

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

NOTA: No es lo mismo encontrar el dominio mas grande posible para una función, que calcular el dominio estrictamente definido a partir de una composición de funciones dadas. Hay que tomar esto en cuenta ya que muchas funciones se pueden expresar como composiciones de otras funciones,  y al reescribirlas,  el dominio a veces cambia! 

Ejemplo:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}$ 

La regla de correspondencia de esta funcion esta dada por la expresion algebraica  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}+1}}$  y se puede reexpresar como $\cos x$. Sin embargo la funcion f tiene como dominio $\mathbb{R}-\lbrace x\in\mathbb{R}, x\neq \frac{(2k+1)\pi}{2}\rbrace$, porque la tangente no esta definida en los puntos de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$.

En cambio la funcion $g(x)=\cos x$ tiene como dominio todo $\mathbb{R}$

En resumen, a pesar de que  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}=\cos x$, las funciones $f$ y $g$ NO son iguales, porque sus dominios no coinciden.

RECORDATORIO

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$

Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 

 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.

El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia. 

Def. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$, donde $A,B,C,D\subset\mathbb{R}$,

Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:E\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.

El dominio de la composicion, por definicion es el conjunto
$E=\lbrace x\in A \text{ tales que }f(x)\in C\rbrace$

Geometria de graficas de funciones de una variable real (En construccion)

Consideremos una función $f:A\rightarrow B$, se define la gráfica de la función F como el conjunto
$G=\lbrace(x,f(x))\in\mathbb{R}^{2},x\in A\rbrace$ donde $A,B\subset\mathbb{R}$.

Para ver como cambia la geometría de la gráfica al aplicar traslaciones y homotecias antes o despues de la aplicación de la función f, nos conviene recordar la definición de composición de funciones.

Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C$, donde A,B,C\subset\mathbb{R}$, para evitar complicaciones supongamos además que f es sobre, de modo que g quede bien definida.

Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:A\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.

En este caso queremos analizar como afecta en la gráfica de g el que g sea una traslación $x+a$ o bien una homotecia $ca$, ademas ver que sucede en el caso en que $a>0$ y $a<0$, y tambien diferentes casos para c, que son $c>1$, $0<c<1$, $-1<c<0$, $c<-1$.

Y tambien invirtiendo los papeles de f y g, lo que significa que queremos ver como afectan las traslaciones antes y después de aplicar una funcion y las homotecias con signo antes y después de aplicar una funcion.

Para hacer este análisis tambien es útil la notación de mapeos.
podemos ver la expresión $f(x+a)$ como la siguiente secuencia

$x\mapsto x+a\mapsto f(x-a)$

La primera traslación que se aplica recorre el eje X horizontalmente, si $a>0$ se desplaza a la izquierda, y a la derecha si $a<0$, y al aplicar la función f, esta toma el valor en a, que la f solita tomaría en el valor 0. Por lo tanto la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido contrario al signo de a.

Ejemplo:

Axioma del supremo

Este axioma es muy importante para establecer la completitud de la recta real.
Partiendo de la relación de orden parcial que existe en los números reales $leq$ podemos definir los siguientes conceptos.

Def. Sea $A \subset \mathbb R$, decimos que $\alpha \in A$ es máximo de A si para todo $x \in A$ se tiene que $x \leq \alpha$.

Obs. No todos los conjuntos tienen un elemento máximo.
Ejemplo

Sea $B=[0,3)$ este conjunto no tiene máximo. Si 3 fuera parte del conjunto entonces el máximo sería 3.

Proposición. El elemento máximo de un conjunto es único.
supongamos que $\alpha$ y $\beta$ son máximos de A, entonces tenemos que
$\alpha\leq\beta$ y también que $\beta \leq \alpha$ y por lo tanto $\alpha= \beta$ lo que demuestra la unicidad del máximo.


Mínimo. Se define de manera análoga al máximo.



Def. Decimos que $\beta \in \mathbb {R}$ es cota superior de un conjunto A, si para todo $x \in A$ se cumple $x\leq \beta$.

Obs. La definición no obliga a que las cotas superiores sean parte del conjunto.

Ejemplo. Sea $B=[0,3)$, entonces 3 es cota superior del conjunto, pero también cualquier número mayor o igual a 3 es cota superior del conjunto B

Def. Dado un conjunto B podemos considerar el conjunto formado de todas las cotas superiores de B. Este conjunto puede tener un mínimo. En caso de que el mínimo exista, se llama el supremo de B.

$Sup B=min \lbrace  \alpha\in \mathbb{R}, \alpha \text{ es cota superior de B}\rbrace$

Obs. El supremo es único por ser un mínimo de un conjunto.

De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto, se denota por Inf B


AXIOMA DEL SUPREMO

Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.


Gracias a este axioma se puede demostrar la propiedad de densidad de los números racionales en los números reales.

Proposición. Si $\alpha= Sup B$ y $\epsilon>0$ entonces existe $b \in B$ tal que $\alpha-\epsilon \leq b \leq \alpha$

Demostración. Supongamos que la proposición es falsa. Eso querría decir que 

existe $\epsilon>0$ tal que $[\alpha-\epsilon,\alpha]\cap A=\emptyset$, pero eso implica que $\alpha-\epsilon$ es el supremo de A, lo cual es una contradicción con la hipótesis de que $\alpha$ es el supremo de A.

Por lo tanto la proposición es verdadera.

Propiedad arquimediana de los números reales

Sean $a,b >0$ entonces existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $na>b$

Demostración. Supongamos que el enunciado es falso, eso querría decir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple la desigualdad $na \leq b$,entonces el conjunto $B=\lbrace n\in \mathbb{N}, na \leq b \rbrace$ es acotado superiormente. Por el axioma del supremo, existe $\alpha= Sup B$ y por la proposición anterior dado $\epsilon>0$ existe $k\in \mathbb{N}$ tal que  $\alpha-\epsilon \leq ka\leq \alpha$

 Si escogemos $\epsilon= a$ se obtiene $\alpha a \leq ka \leq\alpha$ de donde,  $\alpha \leq (k+1)a$ pero esto contradice el hecho de que $\alpha$ era el supremo.  Por lo tanto la propiedad arquimediana de los números reales se cumple. 

Densidad de los números racionales

Teorema. Dados $a,b \in \mathbb R$ con $a<b$ existen $p,q \in \mathbb{Z}$ tales que se cumple
$a<\frac{p}{q}< b$

Demostración
Aplicamos la propiedad arquimediana de los números reales a 1 y $b-a$ (podemos hacerlo porque ambos son números mayores que cero)
Así que existe $q \in \mathbb {N}$ tal que $1< q(b-a)$, pero eso quiere decir que entre $qb$ y $qa$ existe un entero $p$, es decir que $qa< p < qb$, de modo que $a<\frac{p}{q} <b$. Es lo que queríamos demostrar.

Este teorema asegura que entre cualesquiera dos números reales existe un racional.

Relaciones y funciones, cardinalidad, conjuntos infinitos

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$

Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 

 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.

El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

Def. Una función $f:A\rightarrow B$ es inyectiva, si dado $f(a)=f(b)$ esto implica $a=b$. 

Proposición.

Si existe una función inyectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de B

Def. Una función $f \rightarrow B$ es suprayectiva, si para todo $b\in B$ existe $a \in A$ tal que $f(a)=b$

Proposición. 

Si existe una función suprayectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de B es menor o igual a la cardinalidad de A.

Def. Se dice que una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Proposición. Si existe una función biyectiva entre dos conjuntos A y B entonces tienen la misma cardinalidad. 

Las proposiciones anteriores son obvias para conjuntos finitos. 

Obs. Si $f:A \rightarrow B$ es biyectiva, entonces existe $f ^{-1}: B \rightarrow A$ también biyectiva, de tal modo que $f\circ f^{-1} =f^{-1}\circ f= I$ es la identidad.

Def. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva entre ellos. 

Un conjunto B es infinito si tiene un subconjunto propio A que tenga la misma cardinalidad que B.

Ejemplo. $B=\mathbb{N}$ y $A=\lbrace n\in\mathbb{N}, n=2k, p.a. k\in\mathbb{N}\rbrace$

    

Calcular dominios de funciones dadas.

Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}(x)+1}}$ 

Primero que nada debemos observar que la expresión requiere que el dominio se restrinja al dominio de la función $g(x)=\tan x$. Así  que excluimos del dominio al conjunto $\lbrace x\in\mathbb{R}, x=\frac{(2k+1)\pi}{2}, p.a. k\in\mathbb{Z}\rbrace$.

Sin embargo, a partir de la identidad trigonometrica $tan^{2}(x)+1=sec^{2}(x)$ que $f(x)=\cos(x)$, expresada de esta manera , el dominio es todo $\mathbb{R}$

Operaciones entre funciones

Dadas $f,g: A\rightarrow B$, $A,B\subset \mathbb{R}$ se pueden definir las siguientes operaciones:

$f+g:A\rightarrow B$     $(f+g)(x)=f(x)+g(x))$

$f-g:A\rightarrow B$     $(f-g)(x)=f(x)-g(x))$

 $fg:A\rightarrow B$        $fg(x)=f(x)g(x)$

$\frac{f}{g}:A-D\rightarrow B$  $\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, donde 

$A=\lbrace x\in A\text{ tales que }g(x)-=0 \rbrace$