Relaciones y funciones, cardinalidad, conjuntos infinitos

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$

Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 

 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.

El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

Def. Una función $f:A\rightarrow B$ es inyectiva, si dado $f(a)=f(b)$ esto implica $a=b$. 

Proposición.

Si existe una función inyectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de B

Def. Una función $f \rightarrow B$ es suprayectiva, si para todo $b\in B$ existe $a \in A$ tal que $f(a)=b$

Proposición. 

Si existe una función suprayectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de B es menor o igual a la cardinalidad de A.

Def. Se dice que una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Proposición. Si existe una función biyectiva entre dos conjuntos A y B entonces tienen la misma cardinalidad. 

Las proposiciones anteriores son obvias para conjuntos finitos. 

Obs. Si $f:A \rightarrow B$ es biyectiva, entonces existe $f ^{-1}: B \rightarrow A$ también biyectiva, de tal modo que $f\circ f^{-1} =f^{-1}\circ f= I$ es la identidad.

Def. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva entre ellos. 

Un conjunto B es infinito si tiene un subconjunto propio A que tenga la misma cardinalidad que B.

Ejemplo. $B=\mathbb{N}$ y $A=\lbrace n\in\mathbb{N}, n=2k, p.a. k\in\mathbb{N}\rbrace$

    

Calcular dominios de funciones dadas.

Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}(x)+1}}$ 

Primero que nada debemos observar que la expresión requiere que el dominio se restrinja al dominio de la función $g(x)=\tan x$. Así  que excluimos del dominio al conjunto $\lbrace x\in\mathbb{R}, x=\frac{(2k+1)\pi}{2}, p.a. k\in\mathbb{Z}\rbrace$.

Sin embargo, a partir de la identidad trigonometrica $tan^{2}(x)+1=sec^{2}(x)$ que $f(x)=\cos(x)$, expresada de esta manera , el dominio es todo $\mathbb{R}$

Operaciones entre funciones

Dadas $f,g: A\rightarrow B$, $A,B\subset \mathbb{R}$ se pueden definir las siguientes operaciones:

$f+g:A\rightarrow B$     $(f+g)(x)=f(x)+g(x))$

$f-g:A\rightarrow B$     $(f-g)(x)=f(x)-g(x))$

 $fg:A\rightarrow B$        $fg(x)=f(x)g(x)$

$\frac{f}{g}:A-D\rightarrow B$  $\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, donde 

$A=\lbrace x\in A\text{ tales que }g(x)-=0 \rbrace$