Axiomas de los números reales. Más cosas de números.

Números Reales

Las diferentes clases de números fueron surgiendo según necesidades mas y mas complejas.

Naturales - Surgen a partir de la necesidad de contar.
Nace el concepto de cardinalidad. Se definen operaciones de suma y producto de números naturales.

La cardinalidad de un conjunto es intuitivamente la cantidad de elementos que pertenecen a ese conjunto.

Enteros -  (Necesidad de restar cantidades) Tienen la misma cardinalidad que los números naturales.

Racionales - Nacen de la necesidad de repartir.
Irracionales - Se descubren en la naturaleza, por ejemplo en el circulo. Se descubre la idea de inconmensurabilidad. En cada circulo , el diámetro y su perímetro son siempre inconmensurables entre si.

Dos cantidades $p$ y $q$ son conmensurables entre si, si existen números enteros $m$ y $n$, tales que: $$mp=nq$$ .
 
Los números irracionales son las cantidades inconmensurables con la unidad escogida. https://www.youtube.com/watch?v=N0rouVdUHVU

Def. $\mathbb{Q}=\lbrace \frac{p}{q},p,q\in\mathbb{R}, q\neq 0\rbrace$
Def. Los números irracionales $\mathbb{I}$ son aquellos que no pueden expresarse de la forma $\frac{p}{q}$
Ejemplos de números irracionales: $\pi$, $\sqrt{2}$, $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , $e$, $\sqrt{p}$ para $p$ primo.

Los números reales $\mathbb{R}$ son el conjunto formado con todas las clases anteriores de números: $$\mathbb{R}=\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$

Nota - Podemos observar que los números naturales son los números enteros positivos, y que los números enteros se pueden escribir de la forma $\frac{p}{q}$ con $p\in\mathbb{Z}$ y $q=1$, así que los enteros son números racionales. En conclusión, los números racionales abarcan a los naturales y a los enteros, por eso podemos simplemente escribir $$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$


En cuanto a la cardinalidad, se puede demostrar que los números naturales, los enteros y los racionales tienen la misma cardinalidad, así como los números reales tienen la misma cardinalidad que los irracionales . Para elaborar bien la idea de cardinalidad, se necesita definir relaciones y funciones.

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES

En el conjunto de los números reales se definen las operaciones de suma y producto.

La suma se define a través de los siguientes axiomas:
Dados $n,m,l,a,b,c\in\mathbb{R}$
- Cerradura
$n,m\in\mathbb{R}$  implica $n+m\in\mathbb{R}$
- Ley asociativa
$(n+m)+l=n+(m+l)$
- Ley conmutativa
$n+m=m+n$
- Elemento neutro
Existe $0\in\mathbb{R}$ tal que $0+n=n$
- Inversos aditivos
Dado $n\in\mathbb{R}$  existe $-n\in\mathbb{R}$ tal que $n+(-n)=0$

El producto se define a través de los siguientes axiomas:

- Cerradura
$a,b\in\mathbb{R}$ implica $ab\in\mathbb{R}$
- Ley asociativa
$(ab)c=a(bc)$
- Ley conmutativa
ab=ba
- Elemento neutro
a1=a
- Inverso multiplicativo
Para todo $a\neq 0$ existe $a^{-1}\in \mathbb{R}$ tal que $aa^{-1}=1$
- Ley distributiva del producto con respecto a la suma
$a(b+c)=ab+ac$

En los números naturales se define también la suma y producto, que cumplen todas las propiedades anteriores con excepción de la existencia del elemento neutro y de los inversos aditivos, pues no siempre se admite el cero como numero natural.
En los números enteros se cumple la existencia de los inversos aditivos.

Ejercicios varios con números:

Def. Un número $p\in\mathbb{Z}$  es par si existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $p=2k$.

Def. Un numero $p\in\mathbb{Z}$ es impar si se puede expresar como $p=2k+1$ para alguna $k\in\mathbb{Z}$


Proposición -  Si $p^2$ es par, entonces p es par.
Demostración...
Def. Un numero $p\in \mathbb{N} , p\neq 1$ es primo si sus únicos divisores son 1 y $p$.