Inducción matemática

La inducción matemática es un procedimiento que se usa para demostrar o verificar que una propiedad se cumple para todos los números naturales. Los Axiomas de Peano, son un conjunto de postulados que definen a los números naturales.

Axiomas de Peano

- 1 es un número natural
- Todo número natural tiene un sucesor
- El 1 no es sucesor de ningún número natural
- Si n y m tienen el mismo sucesor entonces n=m
- Si $S\subset \mathbb{N}$ es tal que $1\in S$ y cada vez que $m\in S$ se cumple $m+1\in S$ entonces se tiene $S=\mathbb{N}$ (El principio de inducción)

Nota 1: El sucesor de m es m+1
Nota 2: Se puede escoger al 0 en lugar del 1 como primer número natural y todo funciona bien.

Así que para demostrar que la propiedad P se cumple para todos los números naturales, se construye el conjunto
$S=\lbrace n\in S, n \text{ cumple la propiedad P}\rbrace$
Si se consigue demostrar a continuación que

i)$1\in S$
ii) Si $m\in S$ se cumple $m+1\in S$ 

Entonces se puede estar seguro de que $S=\mathbb{N}$, y concluir que la propiedad P se cumple para todos los números naturales.

Ejercicios.
Demostrar que la fórmula
$1^2+2^2+\ldots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
es válida para todo $k\in\mathbb{N}$
Demostrar que
$1+r+\ldots +r^k=\frac{1-r^{k+1}}{1-r}$

Más acerca de los números naturales
http://azulrocio.wordpress.com/2012/09/20/algebra-principio-del-buen-orden-axioma-de-eleccion-y-otras-cosas-bien-torcidas/