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viernes, 29 de agosto de 2014

Axioma del supremo

Este axioma es muy importante para establecer la completitud de la recta real.
Partiendo de la relación de orden parcial que existe en los números reales $leq$ podemos definir los siguientes conceptos.

Def. Sea $A \subset \mathbb R$, decimos que $\alpha \in A$ es máximo de A si para todo $x \in A$ se tiene que $x \leq \alpha$.

Obs. No todos los conjuntos tienen un elemento máximo.
Ejemplo

Sea $B=[0,3)$ este conjunto no tiene máximo. Si 3 fuera parte del conjunto entonces el máximo sería 3.

Proposición. El elemento máximo de un conjunto es único.
supongamos que $\alpha$ y $\beta$ son máximos de A, entonces tenemos que
$\alpha\leq\beta$ y también que $\beta \leq \alpha$ y por lo tanto $\alpha= \beta$ lo que demuestra la unicidad del máximo.


Mínimo. Se define de manera análoga al máximo.



Def. Decimos que $\beta \in \mathbb {R}$ es cota superior de un conjunto A, si para todo $x \in A$ se cumple $x\leq \beta$.

Obs. La definición no obliga a que las cotas superiores sean parte del conjunto.

Ejemplo. Sea $B=[0,3)$, entonces 3 es cota superior del conjunto, pero también cualquier número mayor o igual a 3 es cota superior del conjunto B

Def. Dado un conjunto B podemos considerar el conjunto formado de todas las cotas superiores de B. Este conjunto puede tener un mínimo. En caso de que el mínimo exista, se llama el supremo de B.

$Sup B=min \lbrace  \alpha\in \mathbb{R}, \alpha \text{ es cota superior de B}\rbrace$

Obs. El supremo es único por ser un mínimo de un conjunto.

De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto, se denota por Inf B


AXIOMA DEL SUPREMO

Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.


Gracias a este axioma se puede demostrar la propiedad de densidad de los números racionales en los números reales.

Proposición. Si $\alpha= Sup B$ y $\epsilon>0$ entonces existe $b \in B$ tal que $\alpha-\epsilon \leq b \leq \alpha$

Demostración. Supongamos que la proposición es falsa. Eso querría decir que 
existe $\epsilon>0$ tal que $[\alpha-\epsilon,\alpha]\cap A=\emptyset$, pero eso implica que $\alpha-\epsilon$ es el supremo de A, lo cual es una contradicción con la hipótesis de que $\alpha$ es el supremo de A.
Por lo tanto la proposición es verdadera.

Propiedad arquimediana de los números reales

Sean $a,b >0$ entonces existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $na>b$

Demostración. Supongamos que el enunciado es falso, eso querría decir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple la desigualdad $na \leq b$,entonces el conjunto $B=\lbrace n\in \mathbb{N}, na \leq b \rbrace$ es acotado superiormente. Por el axioma del supremo, existe $\alpha= Sup B$ y por la proposición anterior dado $\epsilon>0$ existe $k\in \mathbb{N}$ tal que  $\alpha-\epsilon \leq ka\leq \alpha$
 Si escogemos $\epsilon= a$ se obtiene $\alpha a \leq ka \leq\alpha$ de donde,  $\alpha \leq (k+1)a$ pero esto contradice el hecho de que $\alpha$ era el supremo.  Por lo tanto la propiedad arquimediana de los números reales se cumple. 

Densidad de los números racionales

Teorema. Dados $a,b \in \mathbb R$ con $a<b$ existen $p,q \in \mathbb{Z}$ tales que se cumple
$a<\frac{p}{q}< b$

Demostración
Aplicamos la propiedad arquimediana de los números reales a 1 y $b-a$ (podemos hacerlo porque ambos son números mayores que cero)
Así que existe $q \in \mathbb {N}$ tal que $1< q(b-a)$, pero eso quiere decir que entre $qb$ y $qa$ existe un entero $p$, es decir que $qa< p < qb$, de modo que $a<\frac{p}{q} <b$. Es lo que queríamos demostrar.

Este teorema asegura que entre cualesquiera dos números reales existe un racional.