Geometria de graficas de funciones de una variable real (En construccion)

Consideremos una función $f:A\rightarrow B$, se define la gráfica de la función F como el conjunto
$G=\lbrace(x,f(x))\in\mathbb{R}^{2},x\in A\rbrace$ donde $A,B\subset\mathbb{R}$.

Para ver como cambia la geometría de la gráfica al aplicar traslaciones y homotecias antes o despues de la aplicación de la función f, nos conviene recordar la definición de composición de funciones.

Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C$, donde A,B,C\subset\mathbb{R}$, para evitar complicaciones supongamos además que f es sobre, de modo que g quede bien definida.

Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:A\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.

En este caso queremos analizar como afecta en la gráfica de g el que g sea una traslación $x+a$ o bien una homotecia $ca$, ademas ver que sucede en el caso en que $a>0$ y $a<0$, y tambien diferentes casos para c, que son $c>1$, $0<c<1$, $-1<c<0$, $c<-1$.

Y tambien invirtiendo los papeles de f y g, lo que significa que queremos ver como afectan las traslaciones antes y después de aplicar una funcion y las homotecias con signo antes y después de aplicar una funcion.

Para hacer este análisis tambien es útil la notación de mapeos.
podemos ver la expresión $f(x+a)$ como la siguiente secuencia

$x\mapsto x+a\mapsto f(x-a)$

La primera traslación que se aplica recorre el eje X horizontalmente, si $a>0$ se desplaza a la izquierda, y a la derecha si $a<0$, y al aplicar la función f, esta toma el valor en a, que la f solita tomaría en el valor 0. Por lo tanto la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido contrario al signo de a.

Ejemplo:

Axioma del supremo

Este axioma es muy importante para establecer la completitud de la recta real.
Partiendo de la relación de orden parcial que existe en los números reales $leq$ podemos definir los siguientes conceptos.

Def. Sea $A \subset \mathbb R$, decimos que $\alpha \in A$ es máximo de A si para todo $x \in A$ se tiene que $x \leq \alpha$.

Obs. No todos los conjuntos tienen un elemento máximo.
Ejemplo

Sea $B=[0,3)$ este conjunto no tiene máximo. Si 3 fuera parte del conjunto entonces el máximo sería 3.

Proposición. El elemento máximo de un conjunto es único.
supongamos que $\alpha$ y $\beta$ son máximos de A, entonces tenemos que
$\alpha\leq\beta$ y también que $\beta \leq \alpha$ y por lo tanto $\alpha= \beta$ lo que demuestra la unicidad del máximo.


Mínimo. Se define de manera análoga al máximo.



Def. Decimos que $\beta \in \mathbb {R}$ es cota superior de un conjunto A, si para todo $x \in A$ se cumple $x\leq \beta$.

Obs. La definición no obliga a que las cotas superiores sean parte del conjunto.

Ejemplo. Sea $B=[0,3)$, entonces 3 es cota superior del conjunto, pero también cualquier número mayor o igual a 3 es cota superior del conjunto B

Def. Dado un conjunto B podemos considerar el conjunto formado de todas las cotas superiores de B. Este conjunto puede tener un mínimo. En caso de que el mínimo exista, se llama el supremo de B.

$Sup B=min \lbrace  \alpha\in \mathbb{R}, \alpha \text{ es cota superior de B}\rbrace$

Obs. El supremo es único por ser un mínimo de un conjunto.

De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto, se denota por Inf B


AXIOMA DEL SUPREMO

Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.


Gracias a este axioma se puede demostrar la propiedad de densidad de los números racionales en los números reales.

Proposición. Si $\alpha= Sup B$ y $\epsilon>0$ entonces existe $b \in B$ tal que $\alpha-\epsilon \leq b \leq \alpha$

Demostración. Supongamos que la proposición es falsa. Eso querría decir que 

existe $\epsilon>0$ tal que $[\alpha-\epsilon,\alpha]\cap A=\emptyset$, pero eso implica que $\alpha-\epsilon$ es el supremo de A, lo cual es una contradicción con la hipótesis de que $\alpha$ es el supremo de A.

Por lo tanto la proposición es verdadera.

Propiedad arquimediana de los números reales

Sean $a,b >0$ entonces existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $na>b$

Demostración. Supongamos que el enunciado es falso, eso querría decir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple la desigualdad $na \leq b$,entonces el conjunto $B=\lbrace n\in \mathbb{N}, na \leq b \rbrace$ es acotado superiormente. Por el axioma del supremo, existe $\alpha= Sup B$ y por la proposición anterior dado $\epsilon>0$ existe $k\in \mathbb{N}$ tal que  $\alpha-\epsilon \leq ka\leq \alpha$

 Si escogemos $\epsilon= a$ se obtiene $\alpha a \leq ka \leq\alpha$ de donde,  $\alpha \leq (k+1)a$ pero esto contradice el hecho de que $\alpha$ era el supremo.  Por lo tanto la propiedad arquimediana de los números reales se cumple. 

Densidad de los números racionales

Teorema. Dados $a,b \in \mathbb R$ con $a<b$ existen $p,q \in \mathbb{Z}$ tales que se cumple
$a<\frac{p}{q}< b$

Demostración
Aplicamos la propiedad arquimediana de los números reales a 1 y $b-a$ (podemos hacerlo porque ambos son números mayores que cero)
Así que existe $q \in \mathbb {N}$ tal que $1< q(b-a)$, pero eso quiere decir que entre $qb$ y $qa$ existe un entero $p$, es decir que $qa< p < qb$, de modo que $a<\frac{p}{q} <b$. Es lo que queríamos demostrar.

Este teorema asegura que entre cualesquiera dos números reales existe un racional.

Relaciones y funciones, cardinalidad, conjuntos infinitos

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$

Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 

 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.

El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

Def. Una función $f:A\rightarrow B$ es inyectiva, si dado $f(a)=f(b)$ esto implica $a=b$. 

Proposición.

Si existe una función inyectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de B

Def. Una función $f \rightarrow B$ es suprayectiva, si para todo $b\in B$ existe $a \in A$ tal que $f(a)=b$

Proposición. 

Si existe una función suprayectiva de A a B, eso quiere decir que la cardinalidad de B es menor o igual a la cardinalidad de A.

Def. Se dice que una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Proposición. Si existe una función biyectiva entre dos conjuntos A y B entonces tienen la misma cardinalidad. 

Las proposiciones anteriores son obvias para conjuntos finitos. 

Obs. Si $f:A \rightarrow B$ es biyectiva, entonces existe $f ^{-1}: B \rightarrow A$ también biyectiva, de tal modo que $f\circ f^{-1} =f^{-1}\circ f= I$ es la identidad.

Def. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva entre ellos. 

Un conjunto B es infinito si tiene un subconjunto propio A que tenga la misma cardinalidad que B.

Ejemplo. $B=\mathbb{N}$ y $A=\lbrace n\in\mathbb{N}, n=2k, p.a. k\in\mathbb{N}\rbrace$

    

Calcular dominios de funciones dadas.

Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}(x)+1}}$ 

Primero que nada debemos observar que la expresión requiere que el dominio se restrinja al dominio de la función $g(x)=\tan x$. Así  que excluimos del dominio al conjunto $\lbrace x\in\mathbb{R}, x=\frac{(2k+1)\pi}{2}, p.a. k\in\mathbb{Z}\rbrace$.

Sin embargo, a partir de la identidad trigonometrica $tan^{2}(x)+1=sec^{2}(x)$ que $f(x)=\cos(x)$, expresada de esta manera , el dominio es todo $\mathbb{R}$

Operaciones entre funciones

Dadas $f,g: A\rightarrow B$, $A,B\subset \mathbb{R}$ se pueden definir las siguientes operaciones:

$f+g:A\rightarrow B$     $(f+g)(x)=f(x)+g(x))$

$f-g:A\rightarrow B$     $(f-g)(x)=f(x)-g(x))$

 $fg:A\rightarrow B$        $fg(x)=f(x)g(x)$

$\frac{f}{g}:A-D\rightarrow B$  $\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, donde 

$A=\lbrace x\in A\text{ tales que }g(x)-=0 \rbrace$ 

Inducción matemática

La inducción matemática es un procedimiento que se usa para demostrar o verificar que una propiedad se cumple para todos los números naturales. Los Axiomas de Peano, son un conjunto de postulados que definen a los números naturales.

Axiomas de Peano

- 1 es un número natural
- Todo número natural tiene un sucesor
- El 1 no es sucesor de ningún número natural
- Si n y m tienen el mismo sucesor entonces n=m
- Si $S\subset \mathbb{N}$ es tal que $1\in S$ y cada vez que $m\in S$ se cumple $m+1\in S$ entonces se tiene $S=\mathbb{N}$ (El principio de inducción)

Nota 1: El sucesor de m es m+1
Nota 2: Se puede escoger al 0 en lugar del 1 como primer número natural y todo funciona bien.

Así que para demostrar que la propiedad P se cumple para todos los números naturales, se construye el conjunto
$S=\lbrace n\in S, n \text{ cumple la propiedad P}\rbrace$
Si se consigue demostrar a continuación que

i)$1\in S$
ii) Si $m\in S$ se cumple $m+1\in S$ 

Entonces se puede estar seguro de que $S=\mathbb{N}$, y concluir que la propiedad P se cumple para todos los números naturales.

Ejercicios.
Demostrar que la fórmula
$1^2+2^2+\ldots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $
es válida para todo $k\in\mathbb{N}$
Demostrar que
$1+r+\ldots +r^k=\frac{1-r^{k+1}}{1-r}$

Más acerca de los números naturales
http://azulrocio.wordpress.com/2012/09/20/algebra-principio-del-buen-orden-axioma-de-eleccion-y-otras-cosas-bien-torcidas/

Axiomas de los números reales. Más cosas de números.

Números Reales

Las diferentes clases de números fueron surgiendo según necesidades mas y mas complejas.

Naturales - Surgen a partir de la necesidad de contar.
Nace el concepto de cardinalidad. Se definen operaciones de suma y producto de números naturales.

La cardinalidad de un conjunto es intuitivamente la cantidad de elementos que pertenecen a ese conjunto.

Enteros -  (Necesidad de restar cantidades) Tienen la misma cardinalidad que los números naturales.

Racionales - Nacen de la necesidad de repartir.
Irracionales - Se descubren en la naturaleza, por ejemplo en el circulo. Se descubre la idea de inconmensurabilidad. En cada circulo , el diámetro y su perímetro son siempre inconmensurables entre si.

Dos cantidades $p$ y $q$ son conmensurables entre si, si existen números enteros $m$ y $n$, tales que: $$mp=nq$$.
 
Los números irracionales son las cantidades inconmensurables con la unidad escogida. https://www.youtube.com/watch?v=N0rouVdUHVU

Def. $\mathbb{Q}=\lbrace \frac{p}{q},p,q\in\mathbb{R}, q\neq 0\rbrace$
Def. Los números irracionales $\mathbb{I}$ son aquellos que no pueden expresarse de la forma $\frac{p}{q}$
Ejemplos de números irracionales: $\pi$, $\sqrt{2}$, $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , $e$, $\sqrt{p}$ para $p$ primo.

Los números reales $\mathbb{R}$ son el conjunto formado con todas las clases anteriores de números: $$\mathbb{R}=\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$

Nota - Podemos observar que los números naturales son los números enteros positivos, y que los números enteros se pueden escribir de la forma $\frac{p}{q}$ con $p\in\mathbb{Z}$ y $q=1$, así que los enteros son números racionales. En conclusión, los números racionales abarcan a los naturales y a los enteros, por eso podemos simplemente escribir $$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$


En cuanto a la cardinalidad, se puede demostrar que los números naturales, los enteros y los racionales tienen la misma cardinalidad, así como los números reales tienen la misma cardinalidad que los irracionales . Para elaborar bien la idea de cardinalidad, se necesita definir relaciones y funciones.

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES

En el conjunto de los números reales se definen las operaciones de suma y producto.

La suma se define a través de los siguientes axiomas:
Dados $n,m,l,a,b,c\in\mathbb{R}$
- Cerradura
$n,m\in\mathbb{R}$  implica $n+m\in\mathbb{R}$
- Ley asociativa
$(n+m)+l=n+(m+l)$
- Ley conmutativa
$n+m=m+n$
- Elemento neutro
Existe $0\in\mathbb{R}$ tal que $0+n=n$
- Inversos aditivos
Dado $n\in\mathbb{R}$  existe $-n\in\mathbb{R}$ tal que $n+(-n)=0$

El producto se define a través de los siguientes axiomas:

- Cerradura
$a,b\in\mathbb{R}$ implica $ab\in\mathbb{R}$
- Ley asociativa
$(ab)c=a(bc)$
- Ley conmutativa
ab=ba
- Elemento neutro
a1=a
- Inverso multiplicativo
Para todo $a\neq 0$ existe $a^{-1}\in \mathbb{R} $ tal que $aa^{-1}=1$
- Ley distributiva del producto con respecto a la suma
$a(b+c)=ab+ac$

En los números naturales se define también la suma y producto, que cumplen todas las propiedades anteriores con excepción de la existencia del elemento neutro y de los inversos aditivos, pues no siempre se admite el cero como numero natural.
En los números enteros se cumple la existencia de los inversos aditivos.

Ejercicios varios con números:

Def. Un número $p\in\mathbb{Z}$  es par si existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $p=2k $.

Def. Un numero $p\in\mathbb{Z}$ es impar si se puede expresar como $p=2k+1$ para alguna $k\in\mathbb{Z}$


Proposición -  Si $p^2$ es par, entonces p es par.
Demostración...
Def. Un numero $p\in \mathbb{N} , p\neq 1$ es primo si sus únicos divisores son 1 y $p$.

Cálculo I - Martes 12 de agosto 2014